\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{calc, positioning}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.17}
\usepackage{pgf-pie} % 引入 pgf-pie 宏包

\begin{document}
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$，$F$ 分别为棱 $BC$，$CD$ 的中点。}
		
		\begin{enumerate}
			\item 求证：$D_1F \parallel$ 平面 $A_1EC_1$；
			\item 求直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成角的正弦值；
			\item 求二面角 $A-A_1C_1-E$ 的正弦值。
		\end{enumerate}
		
		\begin{tikzpicture}[x={(1cm,0.4cm)},y={(8mm, -3mm)},z={(0cm,1cm)},scale=1.5]
			% Define coordinates
			\coordinate (A) at (0,0,0);
			\coordinate (B) at (2,0,0);
			\coordinate (C) at (2,2,0);
			\coordinate (D) at (0,2,0);
			\coordinate (A1) at (0,0,2);
			\coordinate (B1) at (2,0,2);
			\coordinate (C1) at (2,2,2);
			\coordinate (D1) at (0,2,2);
			\coordinate (E) at (2,1,0);
			\coordinate (F) at (1,2,0);
			
			% Draw edges
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\draw (A) -- (A1) -- (B1) -- (B) -- cycle;
			\draw (C) -- (C1) -- (D1) -- (D) -- cycle;
			\draw (A1) -- (D1) -- (C1) -- (B1) -- cycle;
			\draw (A) -- (D);
			\draw (B) -- (C1);
			
			% Draw midpoints and label them
			\fill (E) circle (0.5pt) node[below] {$E$};
			\fill (F) circle (0.5pt) node[below] {$F$};
			
			% Label other points
			\foreach \point/\position in {A/below,B/below,C/below,D/below,A1/below,B1/below,C1/below,D1/below}
			\fill (\point) circle (0.5pt) node [\position] {$\point$};
			
			% Draw additional lines for proof
			\draw[dashed] (D1) -- (F);
			\draw[dashed] (A) -- (C1);
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}
	
	

	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{高中数学中需掌握的抽样方法有简单随机抽样、分层随机抽样两种.}
		\item 简单随机抽样: 简单随机抽样常用抽签法、随机数法来实现, 它有方法简单、直观等特点, 是一种基本的抽样方法. 但当总体很大时, 操作起来不方便, 且简单随机抽样没有利用其它辅助信息, 估计效率往往不高.
		\item 分层随机抽样: 在个体差异较大的情形下, 只要选取的分层变量合适, 使得各层间差异明显、层内差异不大, 分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样, 且分层随机抽样除了能得到总体的估计外, 还能得到每层的估计.
		\item 两种抽样估计总体平均数的方法
		\begin{enumerate}
			\item 简单随机抽样: 从总体中用简单随机抽样抽取一个容量为 $n$ 的样本, 它们的变量值分别为 $y_1, y_2, \cdots, y_n$, 则称 $\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}$ 为样本均值, 又称样本平均数, 我们常用样本平均数 $\bar{y}$ 去估计总体平均数.
			\item 分层随机抽样: 核心方法是用样本中各层的平均数估计总体中各层的平均数. 以将总体分 2 层为例, 设第 1 层各个个体的变量值分别为 $X_1, X_2, \cdots, X_M$, 从第 1 层中抽取的样本的变量值分别为 $x_1, x_2, \cdots, x_m$, 则可用第 1 层的样本平均数 $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_m}{m}$ 来估计第 1 层的总体平均数 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_M}{M}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	所以总体的平均数的估计值为 $\frac{M \cdot \bar{x} + N \cdot \bar{y}}{M + N} = \frac{M}{M + N} \bar{x} + \frac{N}{M + N} \bar{y}$.
	
	在按比例分配的分层随机抽样中, $\frac{m}{M} = \frac{n}{N} = \frac{m + n}{M + N}$, 所以 $\frac{M}{M + N} = \frac{m}{m + n}, \frac{N}{M + N} = \frac{n}{m + n}$, 从而 $\frac{M}{M + N} \bar{x} + \frac{N}{M + N} \bar{y} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$, 其中 $\frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ 即为总样本平均数, 故可直接用总样本平均数估计总体平均数.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{如图，四边形 \(ABCD\) 是圆柱底面的内接四边形，\(AC\) 是圆柱的底面直径，\(PC\) 是圆柱的母线，\(E\) 是 \(AC\) 与 \(BD\) 的交点，\(AB = AD\)，\(\angle BAD = 60^\circ\)。}
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 记圆柱的体积为 \(V_1\)，四棱锥 \(P-ABCD\) 的体积为 \(V_2\)，求 \(\frac{V_1}{V_2}\)；
		\item 设点 \(F\) 在线段 \(AP\) 上，且 \(PA = 4PF\)，\(PC = 4CE\)，求二面角 \(F-CD-P\) 的余弦值。
	\end{enumerate}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		% Define the coordinates of the points
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (4,0);
		\coordinate (D) at (2,{2*sqrt(3)});
		\coordinate (E) at (2,{sqrt(3)});
		\coordinate (P) at (4,4,0);
		
		% Draw the cylinder
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\draw (A) -- (D);
		\draw (B) -- (C);
		\draw[dashed] (A) -- (E);
		\draw[dashed] (B) -- (E);
		\draw[dashed] (C) -- (E);
		\draw[dashed] (D) -- (E);
		
		% Draw the母线 PC
		\draw (P) -- (C);
		
		% Draw the line segment AP
		\draw (A) -- (P);
		
		% Draw point F
		\coordinate (F) at (1.33,1.33,0);
		\draw (F) -- (P);
		
		% Label the points
		\node at (A) [below left] {$A$};
		\node at (B) [below] {$B$};
		\node at (C) [below right] {$C$};
		\node at (D) [above right] {$D$};
		\node at (E) [right] {$E$};
		\node at (P) [above] {$P$};
		\node at (F) [left] {$F$};
	\end{tikzpicture}
	
	
	
	\begin{enumerate}
			\item \textbf{在四棱锥 \( Q-ABCD \) 中，底面 \( ABCD \) 是正方形，\( AD = 2 \)，\( QD = QA = \sqrt{5} \)，\( QC = 3 \)。}
	\end{enumerate}

	
	\begin{enumerate}
		\item 证明：平面 \( QAD \perp \) 平面 \( ABCD \);
		\item 求二面角 \( B-QD-A \) 的平面角的余弦值。
	\end{enumerate}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5,z={(0.8,0.4)}]
		% Coordinates
		\coordinate (A) at (0,0,0);
		\coordinate (B) at (2,0,0);
		\coordinate (C) at (2,2,0);
		\coordinate (D) at (0,2,0);
		\coordinate (Q) at (1,1,1.5);
		
		% Draw the base square
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		
		% Draw the edges from Q to the vertices of the base
		\draw (Q) -- (A);
		\draw (Q) -- (B);
		\draw (Q) -- (C);
		\draw (Q) -- (D);
		
		% Label the points
		\node at (A) [below left]  {$A$};
		\node at (B) [below right] {$B$};
		\node at (C) [above right] {$C$};
		\node at (D) [above left]  {$D$};
		\node at (Q) [above]       {$Q$};
	\end{tikzpicture}
	
	
	
	\begin{enumerate}
	 \item $\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(1 - 2x\right)^6 \text{的展开式中含} x^2 \text{项的系数为}.$
	\end{enumerate}	
	
	
	
	\begin{enumerate}
		\item \[
		\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5} \text{的展开式中, } x^{3} y^{3} \text{的系数为()}
		\]
	\end{enumerate}

	
	\begin{enumerate}
		\item[A.] 5
		\item[B.] 10
		\item[C.] 15
		\item[D.] 20
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item \[
		(1+3x)^6(1-x)^3 \text{的展开式中 } x^2 \text{的系数为}
		\]
	\end{enumerate}

	
	
	
	\begin{enumerate}
		 \item $\left(x + \frac{1}{x} - 2\right)^5 \text{的展开式中含} x^2 \text{的项为}$
	\end{enumerate}
	
	
	
	
	\begin{enumerate}
		 \item $已知 \left(\frac{1}{x} - x\right)^n \text{的展开式中二项式系数的和是} 1024, \text{则它的展开式中的常数项是（ ）}$
	\end{enumerate}
	
	
	
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再到每个班抽取一定数量的男生和女生作为样本，正确的抽样方法是()
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item[A.] 简单随机抽样
		\item[B.] 先用分层抽样，再用随机数法
		\item[C.] 分层抽样
		\item[D.] 先用抽签法，再用分层抽样
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北向需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有 400人，南面有 200人，这三面要征调 60 人，而北面共征调 10 人（用按比例分配的分层抽样法），则北面共有（ ）人。
		A. 200 \\
		B. 100 \\
		C. 120 \\
		D. 140
	\end{enumerate}
	
	
	
	\begin{enumerate}
			\item 某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团。学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等。下列说法正确的是()
	\end{enumerate}

	
	\begin{enumerate}
		\item[A.] 高一年级学生人数为120人
		\item[B.] 无人机社团的学生人数为17人
		\item[C.] 若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人
		\item[D.] 若甲、乙、丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法
	\end{enumerate}
	
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			ybar,
			bar width=20pt,
			symbolic x coords={辩论, 英文剧场, 民族舞, 无人机, 数学建模},
			xtick=data,
			nodes near coords,
			ymin=0,
			ymax=45,
			ylabel={人数},
			xticklabel style={rotate=45, anchor=east}
			]
			\addplot coordinates {
				(辩论, 30)
				(英文剧场, 42)
				(民族舞, 12)
				(无人机, 17)
				(数学建模, 17)
			};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{tikzpicture}
		\begin{pie}[
			color={blue!20, red!20, orange!20, green!20, yellow!20},
			text=legend,
			sum=auto,
			explode=0.1,
			radius=3,
			]
			\pie[
			text=legend]{
				10/民族舞,
				35/英文剧场,
				10/无人机,
				10/数学建模,
				35/辩论
			}
		\end{pie}
	\end{tikzpicture}
	
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 从小到大排列的数据 1, 2, 3, x, 4, 5, 6, 7, 8, y, 9, 10 的第三四分位数为（ ）
	\end{enumerate}

	
	
	\begin{enumerate}
		\item 在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 \( p_1, \ p_2, \ p_3, \ p_4 \)，且 \( \sum_{i=1}^{4} p_i = 1 \)，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item[A.] \( p_1 = p_4 = 0.1, \ p_2 = p_3 = 0.4 \)
		\item[B.] \( p_1 = p_4 = 0.4, \ p_2 = p_3 = 0.1 \)
		\item[C.] \( p_1 = p_4 = 0.2, \ p_2 = p_3 = 0.3 \)
		\item[D.] \( p_1 = p_4 = 0.3, \ p_2 = p_3 = 0.2 \)
	\end{enumerate}
	
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 有一组样本数据 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，由这组数据得到样本数据 \(y_1, y_2, \cdots, y_n\)，其中 \(y_i = x_i + c (i=1,2,\cdots, n)\)，\(c\) 为非零常数，则()
		
		A. 两组样本数据的样本平均数相同 \\
		B. 两组样本数据的样本中位数相同 \\
		C. 两组样本数据的样本标准差相同 \\
		D. 两组样本数据的样本极差相同
	\end{enumerate}
	
	
	
	
	\begin{enumerate}
		本节包含总体取值规律的估计，总体百分位数的估计，总体集中趋势估计，总体离散程度估计等内容，下面先把涉及到的一些基础知识进行梳理。
	\textbf{频率分布直方图}: 每个小矩形的面积表示数据落在该组的频率, 各小矩形的面积之和为 1.
	\textbf{百分位数}: 一组数据的第 \( p \) 百分位数是这样一个值, 它使得这组数据中至少有 \( p\% \) 的数据小于或等于这个值，且至少有 \( (100-p)\% \) 的数据大于或等于这个值，其计算步骤为:
		\begin{enumerate}
			\item 按从小到大排列原始数据;
			\item 计算 \( i=n \times p\% \), 其中 \( n \) 为样本量;
			\item 若 \( i \) 不是整数, 而大于 \( i \) 的比邻整数为 \( j \), 则第 \( p \) 百分位数为第 \( j \) 项数据; 若 \( i \) 是整数, 则第 \( p \) 百分位数为第 \( i \) 项和第 \( i+1 \) 项数据的平均数.
		\end{enumerate}
		\item \textbf{平均数}: 可反映数据的集中趋势.
		\begin{enumerate}
			\item 一组数据 \( x_1, x_2, \cdots, x_a \) 的平均数 \( \overline{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_a}{n} \).
			\item 由频率分布直方图估计样本平均数, 常用每组区间中点值代表落在该区间的数据, 若设各组区间中点为 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \), 对应各组的频率为 \( f_1, f_2, \cdots, f_n \), 则可估计样本平均数 \( \bar{x} = \sum_{i=1}^n x_i f_i \).
		\end{enumerate}
		\item \textbf{中位数}: 可反映数据的集中趋势.
		\begin{enumerate}
			\item 对于从小到大排列的一组数据, 若数据个数为奇数, 则中位数为最中间的一个数据; 若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数据的平均数.
			\item 由频率分布直方图估计样本中位数, 应在横轴上找到一个数, 使其左右两侧频率各占 0.5.
		\end{enumerate}
		\item \textbf{众数}: 可反映数据的集中趋势.
		\begin{enumerate}
			\item 一组数据中出现次数最多的数据即为该组数据的众数, 若有几个数据出现次数一样多, 且都比其它数据多，则它们都是众数.
			\item 由频率分布直方图估计样本众数, 取最高的小矩形区间中点即可.
		\end{enumerate}
		\item \textbf{极差}: 一组数据的最大值与最小值之差, 它可以一定程度反映数据的离散程度.
		\item \textbf{方差、标准差}: 刻画数据的离散程度. 方差、标准差越大, 数据越分散, 反之越集中.
		\begin{enumerate}
			\item 一组数据 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 的方差 \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2 \), 方差公式的两种形式都需掌握, 计算或证明时都可能用到. 方差的算数平方根 \( s \) 即为标准差. 若数据 \( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 有重复, 设其不重复的值为 \( y_1, y_2, \cdots, y_k \), 对应的数据个数依次为 \( f_1, f_2, \cdots, f_k \), 则 \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i (y_i - \bar{x})^2 \).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{document}